Considere o sólido E limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=0 e y+z=3.
(2,5) Escreva o volume de E como uma integral tripla iterada na ordem d z d y d x.

Passo 1

O exercício pede para escrever o volume do sólido E como uma integral tripla na ordem d z d y d x. Estamos trabalhando com volume via integração em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar as superfícies z=0 e y+z=3 para os limites em z, além da projeção do cilindro x²+y²≤9 no plano xy para os limites em y e x.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) em E, o z fica entre a base z=0 e o teto dado por y+z=3. Resolvendo para z, temos z=3−y. Logo, os limites em z são de 0 até 3−y.

Passo 3

A projeção de E no plano xy é o disco x²+y²≤9. Quando fixamos x, o y varia entre as raízes da circunferência y=±√(9−x²), e x, por sua vez, vai de −3 a 3.

Passo 4

Juntando tudo, o volume V de E é dado pela integral iterada com integrando 1, na ordem d z d y d x.

Resposta

V=integralx=-3^3integraly=-raiz9-x^2^raiz9-x^2integralz=0^3-y1,dz,dy,dx

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