Considere o sólido S limitado por z=raizx^2+y^2 e z=h, com h>0. Esboce o gráfico e monte as integrais triplas para o cálculo do volume de S, usando:
Coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2 e acima pelo plano z=h ( h>0), usando coordenadas esféricas. Vamos usar as transformações
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi
e o jacobiano dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as superfícies em esféricas:
  • O cone z=raizx^2+y^2 vira
    rhocosphi = rhosinphi, i.e.\
    tanphi = 1 Rightarrow phi = pi/4.
  • O plano z=h vira
    rhocosphi = h Rightarrow rho = hcosphi.
    Geometricamente, S é um sólido de revolução em torno do eixo z, entre phi=0 e phi=pi/4, truncado em z=h.

Passo 3

Definimos os limites de integração em esféricas:
0 <= theta <= 2pi, 0 <= phi <= pi4, 0 <= rho <= hcosphi
O volume vem da integral tripla
V = integral triplaS dV = integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/4!integralrho=0^h/cosphi rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 4

Escrevendo de forma organizada em bloco:
V = integral0^2pi integral0^pi/4 integral0^,h/cosphi rho^2,sinphi ;drho,dphi,dtheta

Resposta

V = integral0^2pi integral0^pi/4 integral0^h/cosphi rho^2,sinphi ;drho,dphi,dtheta

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