A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas rho, theta, phi como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo polo norte. O eixo x positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal (o meridiano por Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Então a latitude de P é alpha=90^circ-phi^circ e a longitude é beta=360^circ-theta^circ. Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles (lat. 34,06^circ N, long. 118,25^circ W ) a Montreal (lat. 45,50^circ N, long. 73,60^circ W ). Tome o raio da Terra como 6370 km . (Um círculo máximo é o círculo de intersecção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.)

Passo 1

O enunciado pede a distância ao longo de um grande círculo entre Los Angeles (lat. 34,06^circ N, long. 118,25^circ W) e Montreal (lat. 45,50^circ N, long. 73,60^circ W) num modelo esférico da Terra de raio R=6370 km. O conteúdo é distância em esfera, e vamos usar a lei dos cossenos esférica.

Passo 2

Pela lei dos cossenos esférica, o ângulo central De<asigma entre dois pontos de coordenadas (phi1,lambda1) e (phi2,lambda2) satisfaz
cos(De<asigma) =sinphi1,sinphi2+cosphi1,cosphi2,cos(De<alambda),
onde De<alambda=|lambda2-lambda1|. A distância ao longo do grande círculo é
d=R,De<asigma

Passo 3

Convertendo para radianos e definindo
phi1=34,06^circ,, phi2=45,50^circ,, lambda1=-118,25^circ,, lambda2=-73,60^circ,
temos
phi1=0,5946 rad, phi2=0,7941 rad, De<alambda=44,65^circ=0,7796 rad
Em seguida calculamos
sinphi1=0,561,;sinphi2=0,713,; cosphi1=0,827,;cosphi2=0,701,; cos(De<alambda)=0,711

Passo 4

Substituindo em cos(De<asigma):
cos(De<asigma) =0,561times0,713 + 0,827times0,701times0,711 =0,813
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De<asigma = arccos(0,813) = 0,6223 rad

Passo 5

A distância é
d = 6370 times 0,6223 approx 3965 km

Resposta

A distância sobre o grande círculo entre Los Angeles e Montreal é aproximadamente 3965 km.

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