Determine os pontos críticos e classifique-os:
f(x)=x^5-5 x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x)=x^5-5x^3
e classificá-los (mínimo local, máximo local ou ponto de inflexão). Para isso vamos usar:
1. Derivada primeira f'(x) para achar os pontos críticos ( f'(x)=0).
2. Derivada segunda f''(x) para classificar via teste da segunda derivada.
3. Caso f''=0 num ponto crítico, usamos derivadas de ordem superior.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=5x^4-15x^2=5x^2(x^2-3)
Para achar pontos críticos resolvemos
5x^2(x^2-3)=0
o que dá
x=0, x=pmraiz3

Passo 3

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(5x^4-15x^2r)=20x^3-30x =10x,(2x^2-3)

Passo 4

Avaliamo-la em x=pmraiz3:
f''(raiz3)=10raiz3,l(2cdot3-3r)=10raiz3cdot3=30raiz3>0 Longrightarrowmínimo local em x=raiz3, í
f''(-raiz3)=10(-raiz3)cdot3=-30raiz3<0 Longrightarrowmáximo local em x=-raiz3 á

Passo 5

Em x=0 temos f''(0)=0, teste inconclusivo. Calculamos a derivada terceira:
f'''(x)=ddxl(20x^3-30xr)=60x^2-30,
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f'''(0)=-30neq0
O menor k tal que f^(k)(0)neq0 é k=3, ímpar, o que caracteriza ponto de inflexão com reta tangente horizontal em x=0.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
x=-raiz3 to máximo local, com
f(-raiz3)=6raiz3
x=0 to ponto de inflexão (reta tangente horizontal), com
f(0)=0
x=raiz3 to mínimo local, com
f(raiz3)=-6raiz3

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