Determine os pontos críticos e classifique-os:
h(x)=x^4-4 x^3+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
h(x)=x^4-4x^3+4x^2
e classificá-los como máximo ou mínimo. Para isso, vamos calcular a derivada primeira para achar onde ela se anula e depois usar a derivada segunda para decidir o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
h'(x)=ddxl(x^4-4x^3+4x^2r)=4x^3-12x^2+8x
Fatorando,
h'(x)=4x,(x^2-3x+2)=4x,(x-1),(x-2)
Logo, os pontos em que h'(x)=0 são
x=0, x=1, x=2

Passo 3

Usamos o teste da segunda derivada. Primeiro,
h''(x)=ddxl(4x^3-12x^2+8xr)=12x^2-24x+8
Agora avaliamos h'' e também calculamos h(x) em cada ponto:
Em x=0:
h''(0)=8>0Rightarrowmínimo local, h(0)=0 í
Em x=1:
h''(1)=12-24+8=-4<0Rightarrowmáximo local, h(1)=1 á
Em x=2:
h''(2)=48-48+8=8>0Rightarrowmínimo local, h(2)=0 í

Resposta

(0,0) é ponto de mínimo local.
(1,1) é ponto de máximo local.
(2,0) é ponto de mínimo local.

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