Determine o volume do sólido limitado por z=9-x^{2}, z=5-y, y=0 \mathrm{e} y=5.

Passo 1

O enunciado quer o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = 9 - x^2,\quad z = 5 - y,\quad y=0,\quad y=5.
O conteúdo é integração dupla para volumes. Vamos projetar o sólido no plano xy e escrever
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{top}} - z_{\text{bottom}}\bigr)\,dx\,dy,
onde z_{\text{top}}=9-x^2 e z_{\text{bottom}}=5-y.

Passo 2

Para existir volume, precisamos de
5 - y \;\le\; 9 - x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 \;\le\; 4 + y.
Além disso y varia de 0 a 5. Logo a região de projeção é
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le5,\,-\sqrt{4+y}\le x\le\sqrt{4+y}\bigr\}.

Passo 3

O volume é
V = \int_{y=0}^{5}\int_{x=-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}} \bigl[(9 - x^2) - (5 - y)\bigr]\,dx\,dy = \int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}}(4 + y - x^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Calcule primeiro a integral em x:
\int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}}(4+y)\,dx = (4+y)\cdot 2\sqrt{4+y} =2(4+y)^{3/2},
\int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}}x^2\,dx =2\int_{0}^{\sqrt{4+y}}x^2\,dx =\frac{2}{3}(4+y)^{3/2}.
Subtraindo, obtemos
\int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}}(4+y - x^2)\,dx =2(4+y)^{3/2}-\tfrac{2}{3}(4+y)^{3/2} =\tfrac{4}{3}(4+y)^{3/2}.

Passo 5

Agora integramos em y:
V = \int_{0}^{5}\frac{4}{3}(4+y)^{3/2}\,dy =\frac{4}{3}\int_{4}^{9}t^{3/2}\,dt \quad(t=4+y).
Como
\int t^{3/2}\,dt =\frac{2}{5}t^{5/2},
temos
V = \frac{4}{3}\cdot\frac{2}{5}\Bigl[\,t^{5/2}\Bigr]_{4}^{9} =\frac{8}{15}\bigl(9^{5/2}-4^{5/2}\bigr) =\frac{8}{15}(243-32) =\frac{1688}{15}.

Resposta

V = \frac{1688}{15}.

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