Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto:
H=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 4,0 <= y <= raizx
Calcule a área lateral A do sólido.

Passo 1

O enunciado considera a região H = { (x,y) ∈ ℝ² ; 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ √x } e pede a área lateral do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo envolvido é área de superfície de revolução, para o qual precisamos da fórmula que dá a área lateral gerada pela curva y = f(x), de x = a até x = b, rotacionada em torno do eixo x:

Passo 2

Primeiro identificamos a função f(x) = √x e calculamos sua derivada. Temos
f(x)=raizx, f'(x)=12raizx

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da área lateral:
A = 2pi integral1^4 f(x),raiz1 + [f'(x)]^2,dx

Passo 4

Substituindo f(x) e f’(x) nessa expressão, obtemos
$$1 + [f’(x)]^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x+1}{4x},\quad f(x)\sqrt{1+[f’(x)]^2} = \sqrt{x},\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
$$

Passo 5

Portanto
A = 2pi integral1^4 raiz4x+12,dx = pi integral1^4 raiz4x+1,dx

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos a troca de variável u = 4x+1, logo du = 4 dx. Quando x = 1, u = 5; quando x = 4, u = 17. Assim,
integral1^4 raiz4x+1,dx = integral5^17 raizu,du4 = 14 cdot 23 l[u^3/2r]5^17 = 16l(17^3/2 - 5^3/2r)

Resposta

A = pi6l(17raiz17 - 5raiz5r)

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