Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto:
Calcule a área lateral
do sólido.
Passo 1
O enunciado considera a região H = { (x,y) ∈ ℝ² ; 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ √x } e pede a área lateral do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo envolvido é área de superfície de revolução, para o qual precisamos da fórmula que dá a área lateral gerada pela curva y = f(x), de x = a até x = b, rotacionada em torno do eixo x:
Passo 2
Primeiro identificamos a função f(x) = √x e calculamos sua derivada. Temos
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da área lateral:
Passo 4
Substituindo f(x) e f’(x) nessa expressão, obtemos
$$1 + [f’(x)]^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x+1}{4x},\quad f(x)\sqrt{1+[f’(x)]^2} = \sqrt{x},\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
$$
Passo 5
Portanto
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos a troca de variável u = 4x+1, logo du = 4 dx. Quando x = 1, u = 5; quando x = 4, u = 17. Assim,