Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -2 na direção
. Calcule:
e
.
Passo 1
O enunciado diz que uma função diferenciável f, no ponto (1,2), tem derivadas direcionais conhecidas nas direções dadas, e a questão pede as derivadas parciais ∂f/∂x(1,2) e ∂f/∂y(1,2). Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor unitário
é dada por
. Primeiro, obtemos os vetores unitários correspondentes às direções
e
:
O vetor tem norma
, logo seu unitário é
O vetor
De modo similar,
tem norma
, logo
Passo 3
Como
, escrevemos as duas equações:
Multiplicando cada equação por
obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvendo esse sistema, por exemplo multiplicando a segunda equação por 2 e somando à primeira, encontramos:
e então