Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção i+2 j e igual a -2 na direção 2 i-j. Calcule:
(1,0) partial fpartial x(1,2) e partial fpartial y(1,2).

Passo 1

O enunciado diz que uma função diferenciável f, no ponto (1,2), tem derivadas direcionais conhecidas nas direções dadas, e a questão pede as derivadas parciais ∂f/∂x(1,2) e ∂f/∂y(1,2). Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor unitário hat u é dada por Dhat uf=nabla f(1,2)cdothat u. Primeiro, obtemos os vetores unitários correspondentes às direções vec i+2vec j e 2vec i-vec j:
O vetor vec i+2vec j tem norma raiz1^2+2^2=raiz5, logo seu unitário é
hat u1=1raiz5(1,2)
De modo similar, vec v=2vec i-vec j tem norma raiz2^2+(-1)^2=raiz5, logo
hat u2=1raiz5(2,-1)

Passo 3

Como nabla f(1,2)=(fx,fy), escrevemos as duas equações:
nabla fcdothat u1=fx+2fyraiz5=3,
nabla fcdothat u2=2fx - fyraiz5=-2
Multiplicando cada equação por raiz5 obtemos o sistema:
fx+2fy=3raiz5,
2fx - fy=-2raiz5

Passo 4

Resolvendo esse sistema, por exemplo multiplicando a segunda equação por 2 e somando à primeira, encontramos:
5fx=-raiz5Rightarrow fx=-raiz55,
e então
fy=8raiz55

Resposta

partial fpartial x(1,2)=-raiz55, partial fpartial y(1,2)=8raiz55.

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