Considere as somas notáveis sumi=1^n i=n(n+1)2 e sumi=1^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6.
Use o TFC para calcular integral0^4(-x^2+4 x) d x e compare essa abordagem com o cálculo feito no item (a), comentando a diferença conceitual entre ambos.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular integral0^4(-x^2+4x),dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite encontrar o valor exato de uma integral definida a partir de uma antiderivada.

Passo 2

A antiderivada de -x^2 é -tfracx^33 e a antiderivada de 4x é 2x^2. Logo, uma primitiva de -x^2+4x é
F(x)=-x^33+2x^2

Passo 3

A integral definida de 0 a 4 é dada por F(4)-F(0). Calculando temos
F(4)=-4^33+2cdot4^2=-643+32=-64+963=323,
e F(0)=0. Portanto integral0^4(-x^2+4x),dx=323.

Passo 4

Em contraste ao item (a), onde provavelmente se usou a soma de Riemann e as fórmulas sumi=1^n i e sumi=1^n i^2 para obter o limite que define a integral, aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Conceitualmente, na soma de Riemann construímos a integral como limite de somas de retângulos (uma interpretação mais geométrica), enquanto o TFC nos dá uma maneira direta de calcular a área exata a partir de antiderivadas (uma abordagem analítica).

Resposta

tfrac323

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