Considere o subconjunto B=(1,-1,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,-1,1),(-1,0,1,0) de R^4.
Decida se B é linearmente dependente ou linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
B = v1,v2,v3,v4 subset R^4
com
v1=(1,-1,0,0),; v2=(0,1,0,-1),; v3=(0,0,-1,1),; v4=(-1,0,1,0)
O conteúdo é teste de independência linear: vamos ver se existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 + c4,v4 = (0,0,0,0)

Passo 3

Escrevemos o sistema que decorre desta igualdade coordenada a coordenada:
c1 - c4 = 0, -,c1 + c2 = 0, -,c3 + c4 = 0, -,c2 + c3 = 0

Passo 4

Das equações acima obtemos
c1 = c4, c2 = c1, c3 = c4, c3 = c2
Logo
c1 = c2 = c3 = c4 = k,
onde k é um escalar livre.

Passo 5

Como existe a solução não trivial kneq0 (por exemplo k=1), temos
v1+v2+v3+v4 = (0,0,0,0)
Isso mostra que há combinação não trivial que gera o zero, logo B é linearmente dependente.

Resposta

B é linearmente dependente.

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