Considere o subconjunto B=(1,-1,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,-1,1),(-1,0,1,0) de R^4.
Determine o subespaço S gerado por B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
, onde
e pede o subespaço . Vamos usar definição de span, descobrir dependências lineares e achar uma descrição por equações.

Passo 2

Note que
logo há uma relação linear entre eles e . Assim

Passo 3

Um vetor genérico de S é
a,v1+b,v2+c,v3 =(a,,-a+b,,-c,,-b+c)
Chamando esse vetor de (x,y,z,w), temos
(x,y,z,w)=(a,,-a+b,,-c,,-b+c)

Passo 4

Das igualdades
x=a, y=-a+b, z=-c, w=-b+c
seguem
a=x, c=-,z, b=y+a=y+x,
e então
w=-,b+c=-(y+x)+(-z)=-x-y-z
Isto é
x+y+z+w=0

Resposta

S=(x,y,z,w)inR^4mid x+y+z+w=0

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