Verifique se a seguinte afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se C=A B, onde A é matriz n times p e B é p times m, então o núcleo de B está contido no núcleo de C.

Passo 1

O enunciado considera matrizes Ain R^ntimes p e Bin R^ptimes m e define C = A,B. O que queremos verificar é se vale
ker(B)subseteq ker(C),
ou seja, se todo vetor que B envia a zero também é enviado a zero por C. O conteúdo aqui é o de núcleos (espaços nulos) de matrizes e a composição de transformações lineares.

Passo 2

Recordando a definição de núcleo de uma matriz M:
ker(M) = ,xin R^mmid Mx=0,
Em particular,
ker(B)=xmid Bx=0, ker(C)=xmid Cx=0
Queremos mostrar que se xinker(B) então xinker(C).

Passo 3

Seja xinker(B). Então, por definição,
B x = 0
Multiplicando essa igualdade à esquerda por A, temos
C x = (A,B),x = A,(B x) = Acdot 0 = 0
Logo x satisfaz C x=0, o que significa xinker(C).

Resposta

A afirmação é verdadeira: de fato
ker(B)subseteq ker(C)

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