Verifique se a seguinte afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
, onde
é matriz
e
é
, então o núcleo de
está contido no núcleo de
.
Se
Passo 1
O enunciado considera matrizes
e
e define
. O que queremos verificar é se vale
ou seja, se todo vetor que
envia a zero também é enviado a zero por
. O conteúdo aqui é o de núcleos (espaços nulos) de matrizes e a composição de transformações lineares.
Passo 2
Recordando a definição de núcleo de uma matriz
:
Em particular,
Queremos mostrar que se
então
.
Passo 3
Seja
. Então, por definição,
Multiplicando essa igualdade à esquerda por
, temos
Logo
satisfaz
, o que significa
.
Resposta
A afirmação é verdadeira: de fato