Considere os subespaços U=[(1,1,1)] e V=[(2,0,0),(0,0,3)] do R^3. Determine:
Os complementos ortogonais U^perp e V^perp.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
U = span(1,1,1) e
V = span(2,0,0),(0,0,3)
em R^3 e pede os complementos ortogonais U^perp e V^perp. Para isso usamos a definição
W^perp = ,vinR^3mid vcdot w=0 forall,win W.

Passo 2

Para achar U^perp tomamos um vetor genérico
v=(x1,x2,x3)
e exigimos
vcdot(1,1,1)=0
ou seja,
x1+x2+x3=0
Esse é o plano de todos os vetores cujas coordenadas somam zero. Uma base conveniente para esse plano é, por exemplo,
,(1,-1,0) e (1,0,-1).

Passo 3

Para achar V^perp exigimos que v=(x1,x2,x3) seja ortogonal a (2,0,0) e a (0,0,3):
vcdot(2,0,0)=2x1=0
vcdot(0,0,3)=3x3=0
Logo x1=0 e x3=0, restando v=(0,x2,0). Uma base para esse espaço unidimensional é (0,1,0).

Resposta

U^perp = (x1,x2,x3)mid x1+x2+x3=0 = span(1,-1,0),(1,0,-1)
V^perp = span(0,1,0)

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