Considere, em R^3, o subconjunto gamma=e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
Determine o ângulo entre w=(3,3,3) e cada vetor de gamma.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre w=(3,3,3) e os vetores de gamma=e1,e2,e3. O conteúdo necessário é produto escalar e norma em R^3. Vamos usar a fórmula:
costheta = ucdotv|u|,|v|

Passo 2

Calcular o produto escalar de w com cada ei. Para e1=(1,0,0):
wcdote1 = 3cdot1 + 3cdot0 + 3cdot0 = 3
De forma análoga, obtém-se wcdote2=3 e wcdote3=3.

Passo 3

Calcular as normas. A norma de w é
|w| = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = 3raiz3
e como |ei|=1 para todo i, já temos as normas necessárias.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno para cada par (w,ei):
costheta = 33raiz3cdot1 = 1raiz3
Logo o ângulo é
theta = arccosl(tfrac1raiz3r)
e vale para i=1,2,3.

Resposta

Para e1, e2 e e3, o ângulo com w é
theta = arccosl(tfrac1raiz3r)

Exercícios relacionados