Considere, em R^3, o subconjunto gamma=e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
Mostre que forall u=(u1, u2, u3) in R^3, vale que lang<= u, eirang<==ui, forall i in1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço real R^3 com o produto interno canônico, ao tomarmos qualquer vetor u=(u1,u2,u3) e um dos vetores da base padrão
gamma=e1,e2,e3, o produto interno lang<= u,eirang<= retorna exatamente a i-ésima coordenada de u. Vamos usar a definição do produto interno em R^3.

Passo 2

A definição do produto interno canônico em R^3 é
lang<= u,vrang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3,
onde u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3).

Passo 3

Para e1=(1,0,0) temos
lang<= u,e1rang<= = u1cdot1 + u2cdot0 + u3cdot0 = u1

Passo 4

Analogamente, para
e2=(0,1,0)
lang<= u,e2rang<= = u1cdot0 + u2cdot1 + u3cdot0 = u2,
e para
e3=(0,0,1)
lang<= u,e3rang<= = u1cdot0 + u2cdot0 + u3cdot1 = u3

Resposta

lang<= u,eirang<= = ui para todo iin1,2,3.

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