Determine a equação do plano que é paralelo à reta que passa por P=(0,2,2) e tem a direção do vetor u=(1,0,3).

Passo 1

O enunciado pede um plano que seja paralelo à reta de direção u=(1,0,3) e que contenha o ponto P=(0,2,2).
Esse exercício usa o fato de que para uma reta ser paralela a um plano, o vetor direção da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Sejam n=(a,b,c) o vetor normal do plano e u=(1,0,3).
A condição de paralelismo é
ncdot u=0
ou seja
acdot1 + bcdot0 + ccdot3 = 0 Longrightarrow a + 3c = 0

Passo 3

Da relação a+3c=0 podemos escolher, por exemplo, c=1 e a=-3. O componente b fica livre, mas o plano não precisa de mais um grau de liberdade para existir, então podemos tomar b=0.
Assim um normal válido é
n = (-3,0,1)

Passo 4

A equação geral do plano com normal n que passa por P=(0,2,2) é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow (-3,0,1)cdot(x-0,;y-2,;z-2)=0
Fazendo o produto escalar:
-3(x-0) + 0,(y-2) + 1,(z-2) = 0 Longrightarrow -3x + z -2 = 0

Resposta

A equação de um plano adequado é
boxedz - 3x - 2 = 0

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