Encontre os autovalores e os autovetores da equação característica abaixo. Mostre sua resolução em detalhes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da equação característica que foi dada:
Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver equações polinomiais e entender o que são autovalores e autovetores no contexto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nosso trabalho. Observa que todos os termos têm um zero no final, então podemos dividir a equação por 100 para diminuir os números:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, notamos que a equação é do 4º grau, mas podemos torná-la mais fácil de resolver fazendo uma substituição. Vamos chamar
de
:
Assim, transformamos nossa equação original em uma equação quadrática em termos de
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A equação está na forma
, onde:
A fórmula de Bhaskara é:
Vamos calcular o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante é positivo (
), temos duas soluções reais para
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, agora precisamos encontrar
. Então, resolvemos para
nas duas soluções de
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora temos os quatro autovalores (valores de
):
Passo 8
Para encontrar os autovetores, geralmente precisamos de uma matriz específica para a qual a equação característica foi derivada. Os autovetores associados a cada autovalor
satisfazem a equação:
Onde:
-
é a matriz original -
é a matriz identidade -
é o autovetor associado ao autovalor
Como não temos a matriz
específica neste exercício, não podemos calcular os autovetores numericamente. Entretanto, os autovetores serão vetores não nulos que, quando a matriz
é aplicada a eles, resultam no mesmo vetor escalado pelo autovalor correspondente.
Resposta
Os autovalores da equação característica
são:
Os autovetores correspondentes dependem da matriz específica associada a esta equação característica.