Encontre os autovalores e os autovetores da equação característica abaixo. Mostre sua resolução em detalhes
1600 omega^4-32000 omega^2+120000=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da equação característica que foi dada:
1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 = 0
Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver equações polinomiais e entender o que são autovalores e autovetores no contexto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nosso trabalho. Observa que todos os termos têm um zero no final, então podemos dividir a equação por 100 para diminuir os números:
1600 omega^4100 - 32000 omega^2100 + 120000100 = 0
Isso simplifica para:
16 omega^4 - 320 omega^2 + 1200 = 0

Passo 3

Agora, notamos que a equação é do 4º grau, mas podemos torná-la mais fácil de resolver fazendo uma substituição. Vamos chamar omega^2 de y:
16 y^2 - 320 y + 1200 = 0
Assim, transformamos nossa equação original em uma equação quadrática em termos de y.

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A equação está na forma a y^2 + b y + c = 0, onde:
  • a = 16
  • b = -320
  • c = 1200
A fórmula de Bhaskara é:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos calcular o discriminante ( De<a):
De<a = b^2 - 4ac = (-320)^2 - 4 cdot 16 cdot 1200
De<a = 102400 - 76800 = 25600

Passo 5

Como o discriminante é positivo ( De<a = 25600), temos duas soluções reais para y:
y = 320 pm raiz2560032
y = 320 pm 16032
Isso nos dá duas soluções:
y = 320 + 16032 = 48032 = 15
y = 320 - 16032 = 16032 = 5

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição y = omega^2, agora precisamos encontrar omega. Então, resolvemos para omega nas duas soluções de y:
  1. Para y = 15:
omega^2 = 15
omega = pm raiz15
  1. Para y = 5:
omega^2 = 5
omega = pm raiz5

Passo 7

Agora temos os quatro autovalores (valores de omega):
omega = raiz15, omega = -raiz15, omega = raiz5, omega = -raiz5

Passo 8

Para encontrar os autovetores, geralmente precisamos de uma matriz específica para a qual a equação característica foi derivada. Os autovetores associados a cada autovalor lambda satisfazem a equação:
(A - lambda I)v = 0
Onde:
  • A é a matriz original
  • I é a matriz identidade
  • v é o autovetor associado ao autovalor lambda
Como não temos a matriz A específica neste exercício, não podemos calcular os autovetores numericamente. Entretanto, os autovetores serão vetores não nulos que, quando a matriz A é aplicada a eles, resultam no mesmo vetor escalado pelo autovalor correspondente.

Resposta

Os autovalores da equação característica 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 = 0 são:
omega = raiz15, omega = -raiz15, omega = raiz5, omega = -raiz5
Os autovetores correspondentes dependem da matriz específica associada a esta equação característica.

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