Calcule a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço , que é gerado pelos vetores , e . O conteúdo que vamos usar aqui é a Projeção Ortogonal em Álgebra Linear. Precisamos saber como projetar um vetor em um subespaço usando uma base desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores que geram são linearmente independentes. Se não forem, podemos simplificar a base. Olhando para , e , percebemos que e podem ser expressos como múltiplos ou combinações de . Isso significa que na verdade é gerado por apenas e , já que não adiciona nada de novo.
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz com as colunas sendo os vetores que formam a base de . Assim, temos:
Passo 4
Para encontrar a projeção ortogonal de w sobre V, usamos a fórmula: