Seja V o subespaço gerado pelos vetores
u1=(1,2,1,2), u2=(2,4,1,2), u3=(5,10,1,2)
Calcule a projeção ortogonal do vetor w=(1,0,1,0) sobre o subespaço V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor w = (1, 0, 1, 0) sobre o subespaço V, que é gerado pelos vetores u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (2, 4, 1, 2) e u3 = (5, 10, 1, 2). O conteúdo que vamos usar aqui é a Projeção Ortogonal em Álgebra Linear. Precisamos saber como projetar um vetor em um subespaço usando uma base desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores que geram V são linearmente independentes. Se não forem, podemos simplificar a base. Olhando para u1, u2 e u3, percebemos que u2 e u3 podem ser expressos como múltiplos ou combinações de u1. Isso significa que V na verdade é gerado por apenas u1 e u2, já que u3 não adiciona nada de novo.

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz A com as colunas sendo os vetores que formam a base de V. Assim, temos:
A = 1 & 2 2 & 4 1 & 1 2 & 2

Passo 4

Para encontrar a projeção ortogonal de w sobre V, usamos a fórmula:
ProjV(w) = A(A^T A)^-1 A^T w
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos A^T A:
A^T A = 1 & 2 & 1 & 2 2 & 4 & 1 & 2 1 & 2 2 & 4 1 & 1 2 & 2 = 1cdot1 + 2cdot2 + 1cdot1 + 2cdot2 & 1cdot2 + 2cdot4 + 1cdot1 + 2cdot2 2cdot1 + 4cdot2 + 1cdot1 + 2cdot2 & 2cdot2 + 4cdot4 + 1cdot1 + 2cdot2 = 1 + 4 + 1 + 4 & 2 + 8 + 1 + 4 2 + 8 + 1 + 4 & 4 + 16 + 1 + 4 = 10 & 15 15 & 25

Passo 6

Agora, calculamos A^T w:
A^T w = 1 & 2 & 1 & 2 2 & 4 & 1 & 2 1 0 1 0 = 1cdot1 + 2cdot0 + 1cdot1 + 2cdot0 2cdot1 + 4cdot0 + 1cdot1 + 2cdot0 = 2 3

Passo 7

Em seguida, precisamos inverter a matriz A^T A:
(A^T A)^-1 = 1(10)(25) - (15)^2 25 & -15 -15 & 10 = 1250 - 225 25 & -15 -15 & 10 = 125 25 & -15 -15 & 10 = 1 & -0.6 -0.6 & 0.4

Passo 8

Agora, multiplicamos (A^T A)^-1 por A^T w:
(A^T A)^-1 A^T w = 1 & -0.6 -0.6 & 0.4 2 3 = 1cdot2 + (-0.6)cdot3 -0.6cdot2 + 0.4cdot3 = 2 - 1.8 -1.2 + 1.2 = 0.2 0

Passo 9

Finalmente, multiplicamos a matriz A por o resultado acima para obter a projeção:
ProjV(w) = A 0.2 0 = 1 & 2 2 & 4 1 & 1 2 & 2 0.2 0 = 1cdot0.2 + 2cdot0 2cdot0.2 + 4cdot0 1cdot0.2 + 1cdot0 2cdot0.2 + 2cdot0 = 0.2 0.4 0.2 0.4

Resposta

A projeção ortogonal de w = (1, 0, 1, 0) sobre o subespaço V é ProjV(w) = (0.2, 0.4, 0.2, 0.4).

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