Considere o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=z+t subset R^4. Determine uma transformação linear T: R^4 R^4 com Im(T)=W. Determine a matriz que representa T com respeito à base canônica.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x + y = z + t
e pede uma aplicação linear T:R^4toR^4 tal que Im(T)=W. Vamos usar a ideia de parametrizar o hiperplano W e, a partir dessa parametrização, construir T.

Passo 2

A condição x+y=z+t pode ser reescrita como
z = x + y - t
Logo, qualquer vetor de W tem a forma
(x,y,z,t) = l(u,,v,,u+v-w,,wr)
para certos u,v,winR. Isso mostra que W é isomorfo a R^3 via os parâmetros (u,v,w).

Passo 3

Para usar essa parametrização como transformação de R^4, basta escolher uma coordenada extra que não afete a imagem. Definimos
T(a,b,c,d) = l(a,,b,,a+b-d,,dr)
Note que o parâmetro c não entra na definição de T, o que garante que dimker T>=1 e Im(T) tenha dimensão 3. Além disso, dado (x,y,z,t)in W, basta tomar a=x, b=y, d=t (e qualquer c) para obter
T(a,b,c,d) = (x,y,x+y-t,t) = (x,y,z,t)
Assim, Im(T)=W.

Passo 4

Para achar a matriz de T na base canônica, calculamos
T(e1)=T(1,0,0,0)=(1,0,1,0), T(e2)=(0,1,1,0), T(e3)=(0,0,0,0), T(e4)=(0,0,-1,1)
Portanto, a matriz de T é
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

Uma escolha de T é
T(x,y,z,t) = l(x,,y,,x+y-t,,tr),
e sua matriz na base canônica é
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1

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