O Subespaço gerado pelas matrizes e C=[cc1 & 2 -1 & 3] é equivalente a: S=[llx & y z & t] in M(2 times 2) / 5 x+7 y-3 z-2 t=0
Passo 1
Queremos descrever o subespaço gerado por
A = 2 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 2 & 4, C = 1 & 2 -1 & 3
como um hiperplano em M2times2. Note que dim M2times2=4 e temos 3 vetores, então o span tem dimensão 3, ou seja, é dado por uma única equação linear da forma
p,x + q,y + r,z + s,t = 0
once
X = x & y z & t
Passo 2
Seja
X = alpha A + beta B + gamma C
com alpha,beta,gammainR. Então os componentes de X são
x = 2alpha + beta + gamma, y = alpha + 2gamma, z = 2beta - gamma, t = alpha + 4beta + 3gamma
Passo 3
Para encontrar a equação linear que todo X satisfaz, impomos
p,x + q,y + r,z + s,t = 0
para todo (alpha,beta,gamma). Substituindo os valores de x,y,z,t obtemos
Agrupando os coeficientes de alpha,beta,gamma leva ao sistema
2p + q + s = 0, p + 2r + 4s = 0, p + 2q - r + 3s = 0
Passo 4
Resolvendo
2p + q + s = 0, p + 2r + 4s = 0, p + 2q - r + 3s = 0,
obtemos (por exemplo escolhendo p=6)
(p,q,r,s) = (6,,-17,,-13,;5)
Assim a equação desejada é
6x ;-;17y ;-;13z ;+;5t ;=;0
Passo 5
Verificando em A,B,C:
para A: 6cdot2 -17cdot1 -13cdot0 +5cdot1 =0,
para B: 6cdot1 -17cdot0 -13cdot2 +5cdot4 =0,
para C: 6cdot1 -17cdot2 -13cdot(-1)+5cdot3 =0.
Logo de fato spanA,B,C é o hiperplano em M2times2 dado por
6x -17y -13z +5t = 0
Resposta
O subespaço gerado por A,B,C é
S ;=;l,x & y z & tin M2times2mid 6x - 17y - 13z + 5t = 0r