O Subespaço gerado pelas matrizes A=[ll2 & 1 0 & 1], B=[ll1 & 0 2 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & 3] é equivalente a: S=[llx & y z & t] in M(2 times 2) / 6 x+y-3 z+12 t=0

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de gerado por
Como e temos três geradores, esperamos um subespaço de dimensão 3, isto é, um hiperplano dado por uma única equação linear nas entradas de uma matriz genérica
Nosso objetivo é encontrar essa equação.

Passo 2

Dizemos que
X=alpha A+beta B+gamma C
se e somente se as entradas satisfazem o sistema
2alpha +beta +gamma =x, alpha +0beta +2gamma =y, 0alpha +2beta -gamma =z, alpha +4beta +3gamma =t

Passo 3

Das três primeiras equações resolvemos alpha,beta,gamma em função de x,y,z. Por exemplo, da primeira obtenho
alpha=x-beta-gamma2,
substituo na segunda e terceira para achar
beta=2y -x +3z5, gamma=4y -2x +z5, alpha=4x -3y -2z5

Passo 4

Para que o sistema seja compatível, a quarta equação deve também ser satisfeita. Substituindo alpha,beta,gamma na quarta chega-se a
-6x+17y+13z=5t,
ou seja
6x-17y-13z+5t=0
Isso significa que
alpha A+beta B+gamma C=X Long<=ftrightarrow 6x-17y-13z+5t=0

Resposta

O subespaço gerado por é

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