O Subespaço gerado pelas matrizes A=[ll2 & 1 0 & 1], B=[ll1 & 0 2 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & 3] é equivalente a: S=[llx & y z & t] in M(2 times 2) / x-17 y+13 z-t=0

Passo 1

O enunciado pede a descrição do subespaço

onde
Como , vamos identificar
e achar a equação linear que define esse subespaço de dimensão 3 como o núcleo de uma forma linear.

Passo 2

Escrevendo A,B,C como vetores em Bbb R^4:
Amapsto(2,1,0,1), Bmapsto(1,0,2,4), Cmapsto(1,2,-1,3)
Se essa span tem dimensão 3, então existe um vetor não-nulo
(p,q,r,s) tal que para todo M no span se tenha
p,x + q,y + r,z + s,t = 0
Precisamos encontrar (p,q,r,s) satisfazendo
pcdot2 + qcdot1 + rcdot0 + scdot1 = 0, pcdot1 + qcdot0 + rcdot2 + scdot4 = 0, pcdot1 + qcdot2 + rcdot(-1) + scdot3 = 0

Passo 3

Escrevendo as três equações:
2p + q + s = 0, p +2r +4s = 0, p +2q -r +3s = 0
Da primeira vem q=-2p - s.
Substituindo na terceira:
p +2(-2p - s) - r +3s = 0 ;Longrightarrow; -3p + s - r = 0 ;Longrightarrow; r = -3p + s

Passo 4

Usando r=-3p+s na segunda:
p +2(-3p + s) +4s = 0 ;Longrightarrow; p -6p +2s +4s = 0 ;Longrightarrow; -5p +6s = 0 ;Longrightarrow; s = tfrac56,p
Logo
q = -2p - tfrac56p = -tfrac176p, r = -3p + tfrac56p = -tfrac136p
Podemos escolher p=6 para limpar denominadores e obter o vetor
(p,q,r,s) = (6,,-17,,-13,,5)

Passo 5

Assim

Resposta

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