O Subespaço gerado pelas matrizes A=[ll2 & 1 0 & 1], B=[ll1 & 0 2 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & 3] é equivalente a: S=[llx & y z & t] in M(2 times 2) / 6 x-17 y-13 z+5 t=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o subespaço
com
é exatamente o conjunto
O conteúdo é resolver um sistema linear para escrever uma matriz genérica

como combinação linear de e achar a equação que garante que isso é possível.

Passo 2

Seja
e suponha que existam escalares tais que
Escrevendo coordenada a coordenada (vendo cada matriz como vetor em ), temos o sistema

Passo 3

Resolvendo por eliminação: da segunda equação alpha=y-2gamma. Da primeira,
x=2(y-2gamma)+beta+gamma ;Longrightarrow; beta=x-2y+3gamma
Na terceira,
z=2beta-gamma =2(x-2y+3gamma)-gamma =2x-4y+5gamma ;Longrightarrow; gamma=z-2x+4y5
Substituindo em alpha e beta não encontramos inconsistência, mas falta verificar a quarta equação. Calculamos o lado direito:
alpha+4beta+3gamma =4x-3y-2z5 +4(-x+2y+3z)5 +3(z-2x+4y)5 =-6x+17y+13z5
Para que isso seja igual a t é preciso
t=-6x+17y+13z5 ;Long<=ftrightarrow; 6x-17y-13z+5t=0

Passo 4

Concluímos que um pertence a se, e só se, satisfaz
Como , esse único vínculo linear define exatamente o subespaço gerado.

Resposta

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