Considere o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=z+t subset R^4. Determine um vetor de R^4 que seja ortogonal a todos os vetores de W.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y = z+t
e pede um vetor em R^4 que seja ortogonal a todo vetor de W. Como W é dado por uma única equação linear, ele é um hiperplano em R^4 e admite um vetor normal unívoco a menos de escala.

Passo 2

Reescrevemos a condição x+y = z+t como
x + y - z - t = 0
Essa forma mostra diretamente que o vetor normal n ao hiperplano satisfaz
ncdot(x,y,z,t) = 0
para todo (x,y,z,t)in W.

Passo 3

O gradiente da função
F(x,y,z,t) = x + y - z - t
é
nabla F = (1,1,-1,-1),
que é exatamente um vetor normal ao hiperplano W. Logo, (1,1,-1,-1) é ortogonal a todos os vetores de W.

Resposta

(1,1,-1,-1)

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