Considere a transformação linear . Existe base de autovetores da matriz para o ? A matriz é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule a representação diagonal e a matriz tal que .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
no espaço . Queremos saber se a matriz de na base canônica admite uma base de autovetores (isto é, se é diagonalizável). Para isso vamos:
Escrever .
Calcular o polinômio característico e as multiplicidades algébrica dos autovalores.
Determinar as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas).
Comparar e concluir sobre diagonalização.
Passo 2
A matriz de na base canônica é triangular superior, com colunas dadas por . Em bloco:
Para matrizes triangulares o polinômio característico é o produto prodi=1^4(lambdai - lambda) dos termos da diagonal, logo
chiA(lambda) = (1 - lambda)^2(-1 - lambda)^2
Passo 3
Dos fatores em chiA(lambda) vemos que os autovalores são
lambda = 1,com mu<iplicidade algébrica ma(1)=2, é
lambda = -1,com mu<iplicidade algébrica ma(-1)=2 é
Passo 4
Para lambda=1 resolvemos (A - I)x=0. A matriz A-I é
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não existem 4 autovetores linearmente independentes. Portanto não há base de autovetores em R^4 e a matriz A não é diagonalizávelãéá. Não existe, pois, P invertível e D diagonal tais que D = P^-1AP.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável, logo não existe base de autovetores nem representação D=P^-1AP.