Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+4 t,-y+2 z+3 t,-z+2 t, t). Existe base de autovetores da matriz A para o R^4 ? A matriz A é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule a representação diagonal D e a matriz P tal que D=P^-1 A P.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T(x,y,z,t) = (x + 2y + 3z + 4t,;-y + 2z + 3t,;-z + 2t,;t)
no espaço R^4. Queremos saber se a matriz A de T na base canônica admite uma base de autovetores (isto é, se é diagonalizável). Para isso vamos:
  1. Escrever A.
  2. Calcular o polinômio característico e as multiplicidades algébrica dos autovalores.
  3. Determinar as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas).
  4. Comparar e concluir sobre diagonalização.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é triangular superior, com colunas dadas por T(ei). Em bloco:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1
Para matrizes triangulares o polinômio característico é o produto prodi=1^4(lambdai - lambda) dos termos da diagonal, logo
chiA(lambda) = (1 - lambda)^2(-1 - lambda)^2

Passo 3

Dos fatores em chiA(lambda) vemos que os autovalores são
lambda = 1,com mu<iplicidade algébrica ma(1)=2, é
lambda = -1,com mu<iplicidade algébrica ma(-1)=2 é

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A - I)x=0. A matriz A-I é
A - I = 0 & 2 & 3 & 4 0 & -2 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & 2 0 & 0 & 0 & 0
e o sistema dá, em ordem ascendente de equações:
-2z + 2t = 0;Longrightarrow;z = t,
-2y + 2z + 3t=0;Longrightarrow;-2y +5t=0;Longrightarrow;y=tfrac52t,
2y +3z +4t=0;Longrightarrow;2cdottfrac52t +3t+4t=12t=0;Longrightarrow;t=0
Logo t=z=y=0 e sobra x livre. Assim o autespaço de lambda=1 tem dimensão
dim E1 = 1 < ma(1)=2

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos (A + I)x=0. A matriz A+I é
A + I = 2 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 2
Do sistema vem
2t=0;Longrightarrow;t=0,2z+3t=0;Longrightarrow;z=0,2x+2y=0;Longrightarrow;x=-y,
de modo que sobra um parâmetro ( y). Assim
dim E-1 = 1 < ma(-1)=2

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não existem 4 autovetores linearmente independentes. Portanto não há base de autovetores em R^4 e a matriz A não é diagonalizávelãéá. Não existe, pois, P invertível e D diagonal tais que D = P^-1AP.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, logo não existe base de autovetores nem representação D=P^-1AP.

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