Considere o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=z+t subset R^4. Mostre que W é subespaço vetorial de R^4.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y = z+t
Para mostrar que W é subespaço vetorial de R^4, vamos verificar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vetor zero: (0,0,0,0)in W porque
0 + 0 = 0 + 0
Logo, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento em soma: sejam
u = (x1,y1,z1,t1)in W, v = (x2,y2,z2,t2)in W,
isto é,
x1 + y1 = z1 + t1 e x2 + y2 = z2 + t2
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2)
e
(x1+x2)+(y1+y2) =(x1+y1)+(x2+y2) =(z1+t1)+(z2+t2) =(z1+z2)+(t1+t2),
logo u+v satisfaz a condição x+y=z+t e pertence a W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar: seja alphainR e
u=(x,y,z,t)in W, x+y=z+t
Então
alpha u = (alpha x,alpha y,alpha z,alpha t)
e
alpha x + alpha y = alpha(x+y) = alpha(z+t) = alpha z + alpha t,
portanto alpha uin W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

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