Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+4 t,-y+2 z+3 t,-z+2 t, t). Determine se a matriz A é invertivel. Caso seja, calcule a matriz inversa pelo algoritmo de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z,t) = (,x + 2y + 3z + 4t,,-y + 2z + 3t,,-z + 2t,,t)
em R^4 e pede para verificar se a matriz A associada a T é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1 por Gauss–Jordan. O conteúdo é: reconhecimento de matriz triangular, cálculo de determinante e aplicação sistemática de eliminação de Gauss–Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1
Como A é triangular superior,
det(A) = 1 cdot (-1)cdot(-1)cdot 1 = 1 neq 0,
logo A é invertível.

Passo 3

Formamos o sistema aumentado [;Amid I4;] e começamos a zerar acima do pivô da 4ª coluna usando a 4ª linha:
[cccc|cccc 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrow,Ri Ri - ai4R4;(i=1,2,3), ;[cccc|cccc 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -3 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô da 3ª linha para normalizar e zerar acima na 3ª coluna:
R3 -1cdot R3 Longrightarrow [cccc|cccc 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Ri Ri - (ai3)R3;(i=1,2) Longrightarrow [cccc|cccc 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & -10 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -7 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Finalmente usamos o pivô da 2ª linha para normalizar e zerar acima na 2ª coluna:
R2 -1cdot R2 Longrightarrow [cccc|cccc 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & -10 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & 7 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
R1 R1 - 2,R2 Longrightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 7 & -24 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & 7 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora o bloco esquerdo é I4, e o bloco direito é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = 1 & 2 & 7 & -24 0 & -1 & -2 & 7 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1

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