Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 com núcleo N(T)=(x,-x, x) mid x in R, imagem Im(T)=(y+z, y, z) mid y, z in R, e autovalores 0,1 e 2 . Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de R^3. A matriz A é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule a representação diagonal D e a matriz P tal que D=P^-1 A P.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear tal que
  • ,
  • ,
  • os autovalores de sejam .
    Para resolver, vamos achar um conjunto de três vetores que diagonaliza : um para o autovalor (que gera o núcleo) e dois para e (no plano imagem). Em seguida montamos a matriz cujas colunas são esses vetores, definimos e usamos

Passo 2

Escolhemos os autovetores:
  • Para lambda=0, qualquer não nulo em ker T, por exemplo v1=(1,-1,1)
  • Para lambda=1, escolhemos um vetor em Im T não em ker T, por exemplo v2=(1,1,0)inIm T, T(v2)=1cdot v2
  • Para lambda=2, outro em Im T independente de v2, por exemplo v3=(1,0,1)inIm T, T(v3)=2cdot v3

Passo 3

Formamos
P=l[v1;;v2;;v3r] = 1 & 1 & 1 -1& 1 & 0 1 & 0 & 1 , D= 0&0&0 0&1&0 0&0&2
Como lambda=0,1,2 são distintos, temos três autovetores linearmente independentes e logo T (e sua matriz A) é diagonalizável.

Passo 4

Calculamos
A = P,D,P^-1
Obtém-se explicitamente
A= -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4

Resposta

A matriz de T na base canônica é
A= -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4
Sim, A é diagonalizável porque tem três autovalores distintos. A forma diagonal é
D= 0&0&0 0&1&0 0&0&2 ,
e a matriz de passagem cujas colunas são os autovetores correspondentes é
P= 1 & 1 & 1 -1& 1 & 0 1 & 0 & 1 ,
satisfeita a relação ,D=P^-1AP.

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