Determine uma transformação linear com núcleo , imagem , e autovalores 0,1 e 2 . Apresente a matriz que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de . A matriz é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule a representação diagonal e a matriz tal que .
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear tal que
,
,
os autovalores de sejam .
Para resolver, vamos achar um conjunto de três vetores que diagonaliza : um para o autovalor (que gera o núcleo) e dois para e (no plano imagem). Em seguida montamos a matriz cujas colunas são esses vetores, definimos e usamos
Passo 2
Escolhemos os autovetores:
Para , qualquer não nulo em , por exemplo
Para , escolhemos um vetor em não em , por exemplo
Para , outro em independente de , por exemplo
Passo 3
Formamos
Como lambda=0,1,2 são distintos, temos três autovetores linearmente independentes e logo T (e sua matriz A) é diagonalizável.
Passo 4
Calculamos
A = P,D,P^-1
Obtém-se explicitamente
A= -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4
Resposta
A matriz de T na base canônica é
A= -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4
Sim, A é diagonalizável porque tem três autovalores distintos. A forma diagonal é
D= 0&0&0 0&1&0 0&0&2 ,
e a matriz de passagem cujas colunas são os autovetores correspondentes é