Considere o subconjunto
do espaço vetorial das funções de
em
denotada por
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos conferir as três propriedades fundamentais: (i) presença do vetor zero, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação por escalar.
Para isso, vamos conferir as três propriedades fundamentais: (i) presença do vetor zero, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro o vetor zero, isto é, a função
definida por
. Então
logo
para todo
. Portanto
.
Passo 3
Testamos o fechamento sob adição. Sejam
. Então para todo
temos
enquanto
Como em geral
, não vale
e assim
para funções não triviais. Falha o fechamento sob soma.
Passo 4
Testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
mas
Para ter
para todo
seria necessário
ou
. Logo, em geral
. Falha o fechamento sob escalar.
Passo 5
Como não ocorre fechamento nem sob soma nem sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.