Considere o subconjunto F=f: R longrightarrow R ; f(x^2)=[f(x)]^2 do espaço vetorial das funções de R em R denotada por F(R, R). Verifique se F é um subespaço vetorial de F(R, R)

Passo 1

O enunciado define
F = l,f:RtoRmid f(x^2) = [f(x)]^2 para todo xinRr
e pede para verificar se F é subespaço vetorial de F(R,R).
Para isso, vamos conferir as três propriedades fundamentais: (i) presença do vetor zero, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro o vetor zero, isto é, a função 0 definida por 0(x)=0. Então
0(x^2)=0 e [0(x)]^2 = 0^2 = 0,
logo 0(x^2)=[0(x)]^2 para todo x. Portanto 0in F.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição. Sejam f,gin F. Então para todo x temos
(f+g)(x^2) = f(x^2) + g(x^2) = f(x)^2 + g(x)^2,
enquanto
l[(f+g)(x)r]^2 = [f(x) + g(x)]^2 = f(x)^2 + 2,f(x)g(x) + g(x)^2
Como em geral 2,f(x)g(x)neq 0, não vale
(f+g)(x^2) ;=;l[(f+g)(x)r]^2,
e assim f+gnotin F para funções não triviais. Falha o fechamento sob soma.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin F. Então
(alpha f)(x^2) = alpha,f(x^2) = alpha,f(x)^2,
mas
l[(alpha f)(x)r]^2 = [alpha,f(x)]^2 = alpha^2,f(x)^2
Para ter alpha,f(x)^2 = alpha^2,f(x)^2 para todo x seria necessário alpha=alpha^2 ou fequiv 0. Logo, em geral alpha fnotin F. Falha o fechamento sob escalar.

Passo 5

Como não ocorre fechamento nem sob soma nem sob multiplicação por escalar, concluímos que F não é subespaço vetorial de F(R,R).

Resposta

F não é subespaço vetorial.

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