Seja E o conjunto de todos os pares (x, y) de números reais com as operações
Adição: (x, y)+(z, w)=(3 y+3 w,-x-z)
Multiplicação por escalar: alpha(x, y)=(3 alpha y,-alpha x)
Verifique se E é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define em E=(x,y)mid x,yinR as operações
(x,y)+(z,w)=(3y+3w,,-x-z),
alpha(x,y)=(3alpha y,,-alpha x)
Para ser espaço vetorial real sobre R precisamos, entre outros axiomas, ter um vetor neutro aditivo 0E que satisfaça
(x,y)+0E=(x,y)forall,(x,y)in E

Passo 2

Vamos tentar encontrar 0E=(a,b). Da definição de soma, exigir
(x,y)+(a,b)=(3(y+b),,-(x+a))stackrel!=(x,y)
gera o sistema, para todo (x,y):
3y+3b = x,
-(x+a)=y
Da segunda equação vem a=-x-y, que depende de x e y, mas a deve ser fixo. Logo não é possível escolher constantes a,b que funcionem para todos (x,y). Portanto o vetor neutro aditivo não existe.

Resposta

Como falha o axioma da existência de vetor neutro aditivo, E não é um espaço vetorial real.

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