Escreva o vetor v=(-2,-1,-2,0) como combinação linear dos vetores
v1=(1,2,2,1), v2=(0,1,1,2), v3=(-1,2,1,3)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor ,v=(-2,-1,-2,0) como combinação linear dos vetores
,v1=(1,2,2,1), ,v2=(0,1,1,2) e ,v3=(-1,2,1,3).
O conteúdo aqui é decomposição em combinação linear, ou seja, encontrar escalares a, b e c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 ;=; v

Passo 2

Escrevemos a igualdade componente a componente. Queremos
a(1,2,2,1)+b(0,1,1,2)+c(-1,2,1,3) ;=; (-2,-1,-2,0)
Isso gera o sistema
a - c = -2, 2a + b + 2c = -1, 2a + b + c = -2, a + 2b + 3c = 0

Passo 3

Da primeira equação fica
a = -2 + c
Substituindo em 2a + b + c = -2 e em 2a + b + 2c = -1 obtemos, respectivamente,
2(-2+c) + b + c = -2 Longrightarrow b + 3c = 2,
2(-2+c) + b + 2c = -1 Longrightarrow b + 4c = 3

Passo 4

Subtraindo as duas últimas equações achamos
(b+4c) - (b+3c) = 3 - 2 Longrightarrow c = 1
Então
b + 3cdot1 = 2 Longrightarrow b = -1,
a = -2 + 1 = -1

Passo 5

Verificamos na quarta equação para garantir coerência:
a + 2b + 3c = -1 + 2(-1) + 3(1) = -1 -2 +3 = 0,
ok.

Resposta

v = -v1 ;-; v2 ;+; v3

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