Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de base de quando é L.I. e gera . Então, quais dos subconjuntos abaixo é uma base de :
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Passo 1
O enunciado quer saber quais dos conjuntos dados são bases de . Por definição, é base de se e somente se é linearmente independente (L.I.) e gera . Em prática, para um conjunto de vetores é base se tiver exatamente vetores L.I.; equivalently, a matriz formada pelos vetores tem determinante não nulo.
Passo 2
Analisando a opção (a):
São três vetores em . Este é justamente o conjunto canônico — sabemos que eles são L.I. e spanam todo . Logo, (a) é base de .
Passo 3
Analisando a opção (b):
Aqui há duas incoerências: cada tem 4 componentes (logo estaria em ) e, mesmo que fossem vetores de , temos 3 vetores num espaço de dimensão 1. Em qualquer caso não é possível gerar nem ser L.I. em . Portanto, (b) não é base.
Passo 4
Analisando a opção (c):
São três vetores num espaço de dimensão 2. Num espaço de dimensão 2 qualquer conjunto com mais de 2 vetores é necessariamente linearmente dependente, logo não pode ser base.
Passo 5
Analisando a opção (d):
Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
Vamos calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
Como det(A)neq 0, os três vetores são L.I. em R^3 e, por terem exatamente 3 vetores em dimensão 3, eles também geram todo o espaço. Logo, (d) é base de E.