Um subconjunto X neq emptyset de um espaço vetorial E é chamado de base de E quando X é L.I. e gera E. Então, quais dos subconjuntos abaixo é uma base de E :
a) v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1)=X subset E=R^3;
b) (v1=(1,1,-1,2), v2=(2,2,1,1), v3=(1,-2,1,1)=X subset E=R^1;
c) v1=(1,2), v2=(2,-1), v3=(2,3)=X subset E=R^2;
d) v1=(1,3,2), v2=(2,-1,3), v3=(2,5,1)=X subset E=R^3.

Passo 1

O enunciado quer saber quais dos conjuntos dados são bases de E. Por definição, Xneqemptyset é base de E se e somente se X é linearmente independente (L.I.) e gera E. Em prática, para E=R^n um conjunto de vetores é base se tiver exatamente n vetores L.I.; equivalently, a matriz formada pelos vetores tem determinante não nulo.

Passo 2

Analisando a opção (a):
E=R^3, X=v1=(1,0,0),,v2=(0,1,0),,v3=(0,0,1)
São três vetores em R^3. Este é justamente o conjunto canônico — sabemos que eles são L.I. e spanam todo R^3. Logo, (a) é base de E.

Passo 3

Analisando a opção (b):
E=R^1, X=v1=(1,1,-1,2),,v2=(2,2,1,1),,v3=(1,-2,1,1)
Aqui há duas incoerências: cada vi tem 4 componentes (logo estaria em R^4) e, mesmo que fossem vetores de R^1, temos 3 vetores num espaço de dimensão 1. Em qualquer caso não é possível gerar nem ser L.I. em R^1. Portanto, (b) não é base.

Passo 4

Analisando a opção (c):
E=R^2, X=v1=(1,2),,v2=(2,-1),,v3=(2,3)
São três vetores num espaço de dimensão 2. Num espaço de dimensão 2 qualquer conjunto com mais de 2 vetores é necessariamente linearmente dependente, logo não pode ser base.

Passo 5

Analisando a opção (d):
E=R^3, X=v1=(1,3,2),,v2=(2,-1,3),,v3=(2,5,1)
Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
A= 1 & 3 & 2 2 & -1 & 3 2 & 5 & 1
Vamos calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotl((-1)cdot1 - 3cdot5r) -3cdotl(2cdot1 - 3cdot2r) +2cdotl(2cdot5 - (-1)cdot2r)
det(A) =1cdot(-1 -15) -3cdot(2 -6) +2cdot(10 +2) =-16 +12 +24 =20neq 0
Como det(A)neq 0, os três vetores são L.I. em R^3 e, por terem exatamente 3 vetores em dimensão 3, eles também geram todo o espaço. Logo, (d) é base de E.

Resposta

As opções que são base de E são (a) e (d).

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