Se
e
são linearmente independentes, então qual é a dimensão do espaço gerado por eles?
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
em algum espaço vetorial, e que eles são linearmente independentes. A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço gerado por esses vetores, isto é, de
? Vamos usar os conceitos de independência linear, base e dimensão.
Passo 2
Lembre que a dimensão de um subespaço vetorial é definida como o número de vetores de qualquer base desse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.
Passo 3
Aqui o próprio conjunto
gera
e, por hipótese, é linearmente independente. Logo, ele satisfaz exatamente a definição de base desse subespaço.
Passo 4
Como essa base tem quatro vetores, a dimensão do espaço gerado é igual a
.
Resposta
A dimensão de
é
.