Se v1, v2, v3 e v4 são linearmente independentes, então qual é a dimensão do espaço gerado por eles?

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores v1, v2, v3, v4 em algum espaço vetorial, e que eles são linearmente independentes. A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço gerado por esses vetores, isto é, de span( v1, v2, v3, v4)? Vamos usar os conceitos de independência linear, base e dimensão.

Passo 2

Lembre que a dimensão de um subespaço vetorial é definida como o número de vetores de qualquer base desse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.

Passo 3

Aqui o próprio conjunto v1, v2, v3, v4 gera span( v1,dots, v4) e, por hipótese, é linearmente independente. Logo, ele satisfaz exatamente a definição de base desse subespaço.

Passo 4

Como essa base tem quatro vetores, a dimensão do espaço gerado é igual a 4.

Resposta

A dimensão de span( v1, v2, v3, v4) é 4.

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