Considere o subconjunto M=[lla & b c & d] epsilon M2 x 2(R) ; a+b+c+d=0. Mostre que M é subespaço de M2 times 2(R). Dê um conjunto gerador para M.

Passo 1

O enunciado define
M = ,a & b c & din M2times2(R) mid a+b+c+d=0
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: devemos verificar que M contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Depois escolhemos parâmetros para descrever genericamente um elemento de M e extrair um gerador.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero está em M. Para
;02times2=0&00&0,
temos
0+0+0+0=0,
logo 02times2in M.

Passo 3

Fechamento em relação à soma. Se

e

satisfazem e , então
tem soma das entradas
logo .

Passo 4

Fechamento em relação a escalar. Se

e , então
tem soma das entradas
logo .

Passo 5

Conclusão de subespaço. Como 02times2in M, M é fechado em soma e em multiplicação por escalar, segue que M é subespaço de M2times2(R).

Passo 6

Construção de um gerador. A condição a+b+c+d=0 é uma equação linear em quatro variáveis, então dim M=3. Podemos escolher a,b,c como parâmetros livres e escrever
d = -(a+b+c)
Logo
a & b c & d = a & b c & -(a+b+c) =a1&00&-1 +b0&10&-1 +c0&01&-1

Resposta

Um conjunto gerador para M é
1&00&-1,, 0&10&-1,, 0&01&-1

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