Considere o subconjunto
. Mostre que
é subespaço de
. Dê um conjunto gerador para
.
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: devemos verificar que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Depois escolhemos parâmetros para descrever genericamente um elemento de
e extrair um gerador.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero está em
. Para
,
temos
temos
logo
.
Passo 3
Fechamento em relação à soma. Se
e
satisfazem e
, então
e
satisfazem
tem soma das entradas
logo
.
Passo 4
Fechamento em relação a escalar. Se
e , então
e
tem soma das entradas
logo
.
Passo 5
Conclusão de subespaço. Como
,
é fechado em soma e em multiplicação por escalar, segue que
é subespaço de
.
Passo 6
Construção de um gerador. A condição
é uma equação linear em quatro variáveis, então
. Podemos escolher
como parâmetros livres e escrever
Logo
Resposta
Um conjunto gerador para
é