Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, x^3) ; x in R

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,x^3) mid xinR
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^2. Para isso, lembramos que um subconjunto WsubseteqR^n é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. O vetor zero de R^n está em W.
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 2

Verificamos se (0,0)in S. Tomando x=0 na definição de S, obtemos (0,0^3)=(0,0). Logo, o vetor zero de R^2 pertence a S.

Passo 3

Testamos fechamento sob adição. Sejam
u=(x1,x1^3), v=(x2,x2^3)in S
Então
u+v = (,x1+x2,;x1^3+x2^3,)
Para que u+v estivesse em S, precisaríamos de um tinR tal que
(x1+x2,,x1^3+x2^3) = (t,,t^3),
ou seja, t = x1+x2 e simultaneamente t^3 = x1^3+x2^3. Mas em geral
(x1+x2)^3 neq x1^3+x2^3,
por exemplo, para x1=x2=1 temos u+v=(2,2), mas (2,2)notin S pois 2^3=8neq2. Logo S não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já falhamos no fechamento sob adição, S não pode ser subespaço. Para reforçar, note que na multiplicação escalar, para lambdaneq1,0,
lambda,(x,x^3) = (lambda x,;lambda x^3)
e em geral (lambda x)^3 = lambda^3x^3neq lambda x^3, então também falha fechamento escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^2.

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