Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de
. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso, lembramos que um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 2
Verificamos se
. Tomando
na definição de
, obtemos
. Logo, o vetor zero de
pertence a
.
Passo 3
Testamos fechamento sob adição. Sejam
Então
Para que
estivesse em
, precisaríamos de um
tal que
ou seja,
e simultaneamente
. Mas em geral
por exemplo, para
temos
, mas
pois
. Logo
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já falhamos no fechamento sob adição,
não pode ser subespaço. Para reforçar, note que na multiplicação escalar, para
,
e em geral
, então também falha fechamento escalar.