Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, y) in R^2 ; y=-x+1

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid y = -x + 1
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^2 (operações usuais). Para isso, precisamos usar o critério de subespaço: mostrar que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando o critério de subespaço: um subconjunto Ssubseteq V é subespaço vetorial de V se, e somente se,
  1. 0in S,
  2. para todo u,vin S, u+vin S,
  3. para todo uin S e todo lambdainR, lambda uin S.

Passo 3

Verificamos o primeiro item: será que o vetor zero (0,0) está em S?
Para (0,0)in S precisamos que
0 ;=; -0 + 1
ou seja
0 = 1,
o que é impossível. Logo (0,0)notin S.

Resposta

S não é um subespaço vetorial de R^2.

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