Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, y, z) in R^3 ; y >= 0

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid y >= 0
e pede para verificar se é subespaço vetorial de R^3. Para isso precisamos conferir três propriedades:
  1. 0in S.
  2. fechamento sob soma: se u,vin S então u+vin S.
  3. fechamento sob multiplicação escalar: se uin S e alphainR então alpha uin S.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
0 = (0,0,0)
Como a componente y de 0 é 0, temos 0in S.

Passo 3

Fechamento sob adição. Se
u=(x1,y1,z1)in S, v=(x2,y2,z2)in S,
então y1>=0 e y2>=0. Logo na soma
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
a componente y1+y2>=0, de modo que u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Tome
u=(x,y,z)in S, alphainR
Se alpha<0 e y>0, então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
tem componente alpha y<0, o que viola a condição alpha y>=0. Logo nem todo alpha u permanece em S.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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