Considere o subconjunto S=(x, y, z) in R^3 / x=3 y e y=-z.
S é um subespaço vetorial do R^3 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid x=3y,;y=-z
é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, podemos (i) reescrever S em forma paramétrica e mostrar que é um span de vetores, ou (ii) verificar diretamente se contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Das igualdades
segue que podemos usar como parâmetro livre. Chamando , temos
logo
Portanto

Passo 3

Como S é o espaço gerado por um único vetor, ele contém o vetor zero (caso t=0) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar (propriedades de qualquer span). Logo S satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Sim. S é um subespaço vetorial de R^3, de dimensão 1, gerado por (3,1,-1).

Exercícios relacionados