Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto S do espaço vetorial V é L.I. ou L.D.
S=[lll1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 2],[ccc-1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1],[ccc0 & 0 & 0 10 & 5 & 7 -1 & 0 & 1] ; V=M_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M3(R) e o subconjunto
S = lA1,,A2,,A3r
com
A1=1&2&03&0&10&0&2, A2=-1&-1&-10&0&01&1&1, A3=0&0&010&5&7-1&0&1
Queremos verificar se S é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso usamos o critério de que S é L.I. se a única solução da combinação
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 = 0
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 = alpha - beta & 2alpha - beta & -beta 3alpha +10gamma & 5gamma & alpha+7gamma -gamma & beta & 2alpha+gamma
e impomos que cada entrada seja zero.

Passo 3

Das entradas obtemos, por exemplo:
(1,1): alpha - beta = 0 ;\Rightarrow; beta=alpha.
(1,2): 2alpha - beta = 0 ;\Rightarrow; 2alpha-alpha=0 ;\Rightarrow; alpha=0 ;\Rightarrow; beta=0.
Com alpha=beta=0, da entrada (3,1): -gamma=0 ;\Rightarrow; gamma=0.

Passo 4

Só existe a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Logo S é linearmente independente.

Resposta

S é L.I. (linearmente independente).

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