Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
para
, e pede o comprimento de arco percorrido entre
e
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva parametrizada, calculado por
Conteúdo: comprimento de arco de curva parametrizada, calculado por
Passo 2
Vamos achar a derivada
sigma'(t) . Como
sigma(t) = (x(t),y(t)) com
temos
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Passo 3
O módulo de
sigma'(t) é
Usando a identidade
1 - cos t = 2sin^2!l(tfrac t2r) , obtemos
Como para
tin[0,2pi] temos
sin(t/2)>=0 , fica
Passo 4
Portanto, o comprimento de arco é
Passo 5
Para integrar, note que
pois
ddtcos!(t/2) = -tfrac12sin!(t/2) .
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Passo 6
Aplicando os limites de
t0 a
t1 ,