Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
sigma(t)=(t-sin (t), 1-cos (t)), 0 <= t <= 2 pi
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t0, t1].

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
sigma(t) = l(t - sin(t),,1 - cos(t)r),
para 0 <= t <= 2pi, e pede o comprimento de arco percorrido entre t0 e t1.
Conteúdo: comprimento de arco de curva parametrizada, calculado por
L = integralt0^t1 l|sigma'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos achar a derivada sigma'(t). Como sigma(t) = (x(t),y(t)) com
x(t) = t - sin(t), y(t) = 1 - cos(t),
temos
x'(t) = 1 - cos(t), y'(t) = sin(t)
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sigma'(t) = l(1 - cos(t),,sin(t)r)

Passo 3

O módulo de sigma'(t) é
l|sigma'(t)r| = raiz(1-cos t)^2 + (sin t)^2 = raiz1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t = raiz2 - 2cos t
Usando a identidade 1 - cos t = 2sin^2!l(tfrac t2r), obtemos
l|sigma'(t)r| = raiz2cdot 2sin^2!l(tfrac t2r) = 2l|sin!l(tfrac t2r)r|
Como para tin[0,2pi] temos sin(t/2)>=0, fica
l|sigma'(t)r| = 2sin!l(tfrac t2r)

Passo 4

Portanto, o comprimento de arco é
L = integralt0^t1 l|sigma'(t)r|,dt = integralt0^t1 2sin!l(tfrac t2r),dt

Passo 5

Para integrar, note que
integral sin!l(tfrac t2r),dt = -2cos!l(tfrac t2r) + C,
pois ddtcos!(t/2) = -tfrac12sin!(t/2).
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integral 2sin!l(tfrac t2r),dt = -4cos!l(tfrac t2r) + C

Passo 6

Aplicando os limites de t0 a t1,
L = l[-4cos!l(tfrac t2r)r]t0^t1 = -4cos!l(tfract12r) + 4cos!l(tfract02r) = 4l[cos!l(tfract02r) - cos!l(tfract12r)r]

Resposta

L = 4l(cos!l(tfract02r) - cos!l(tfract12r)r)

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