Considere o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=z+t subset R^4. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortogonal de W=(x,y,z,t)inR^4mid x+y=z+t usando o processo de Gram–Schmidt. Aqui o conteúdo é subespaços de R^4 e o método de ortogonalização de vetores pelo produto interno usual em R^4.

Passo 2

Primeiro obtemos um conjunto gerador de W resolvendo x+y=z+t em termos de três parâmetros. Por exemplo, tomemos
v1=(1,0,0,1), v2=(0,1,0,1), v3=(0,0,1,-1),
pois em cada um vale x+y=z+t e são claramente independentes, logo geram W.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2. Definimos
u1=v1=(1,0,0,1),
e
u2 = v2-lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = (0,1,0,1)-12(1,0,0,1) =(-tfrac12,,1,,0,,tfrac12)

Passo 4

Em seguida ortogonalizamos v3 em relação a u1 e u2:
u3 = v3 -lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 -lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2
Calculando os produtos escalares e simplificando, obtém-se
u3=(tfrac13,tfrac13,1,-tfrac13)

Passo 5

Os vetores u1,u2,u3 são mutuamente ortogonais e todos pertencem a W. Podemos escalonar para retirar frações, por exemplo multiplicando u2 por 2 e u3 por 3, sem perder ortogonalidade. Uma base ortogonal conveniente é
l(1,0,0,1),,(-1,2,0,1),,(1,1,3,-1)r

Resposta

(1,0,0,1),,(-1,2,0,1),,(1,1,3,-1)
é uma base ortogonal de W.

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