Considere o subconjunto
. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base ortogonal de
usando o processo de Gram–Schmidt. Aqui o conteúdo é subespaços de
e o método de ortogonalização de vetores pelo produto interno usual em
.
Passo 2
Primeiro obtemos um conjunto gerador de
resolvendo
em termos de três parâmetros. Por exemplo, tomemos
pois em cada um vale
e são claramente independentes, logo geram
.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Definimos
e
Passo 4
Em seguida ortogonalizamos
em relação a
e
:
Calculando os produtos escalares e simplificando, obtém-se
Passo 5
Os vetores
são mutuamente ortogonais e todos pertencem a
. Podemos escalonar para retirar frações, por exemplo multiplicando
por
e
por
, sem perder ortogonalidade. Uma base ortogonal conveniente é
Resposta
é uma base ortogonal de
.