Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 com núcleo N(T)=(x,-x, x) mid x in R, imagem Im(T)=(y+z, y, z) mid y, z in R, e autovalores 0,1 e 2 . Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de R^3. Caso a matriz A seja diagonalizável, use o algoritmo de Gauss-Jordan para calcular a matriz inversa P^-1.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:R^3toR^3
com núcleo
N(T)=(x,-x,x)mid xinR, imagem
Im(T)=(y+z,y,z)mid y,zinR
e autovalores
0,1,2.
Vamos escolher uma base de R^3 formada por três autovetores:
  • para lambda=0, tomamos v0=(1,-1,1), que gera o núcleo;
  • para lambda=1, escolhemos v1=(1,1,0)inIm(T);
  • para lambda=2, escolhemos v2=(1,0,1)inIm(T).

Passo 2

Formamos a matriz P cujas colunas são esses autovetores, e a matriz diagonal D com os autovalores:
P = 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Então a matriz buscada é
A ;=; P,D,P^-1

Passo 3

Para diagonalizar precisamos de P^-1. Aplicando Gauss– Jordan a l[Pmid Ir] obtemos
P^-1 = 1 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2

Passo 4

Agora calculamos
A ;=; P,D,P^-1
Primeiro D,P^-1 multiplica cada linha de P^-1 pelos autovalores:
D,P^-1 = 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4
Em seguida
A ;=; 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4 = -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4

Resposta

A matriz de T na base canônica é
A = -1 & 2 & 3 1 & 0 & -1 -2 & 2 & 4 ,
e a matriz de mudança de base (autovetores) e sua inversa são
P = 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , P^-1 = 1 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2
De fato A=P,D,P^-1 com D=diag(0,1,2).

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