Determine uma transformação linear com núcleo , imagem , e autovalores 0,1 e 2 . Apresente a matriz que representa esta transformação linear com respeito à base canônica de . Caso a matriz seja diagonalizável, use o algoritmo de Gauss-Jordan para calcular a matriz inversa .
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
com núcleo , imagem
e autovalores .
Vamos escolher uma base de formada por três autovetores:
para , tomamos , que gera o núcleo;
para , escolhemos ;
para , escolhemos .
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são esses autovetores, e a matriz diagonal com os autovalores:
Então a matriz buscada é
A ;=; P,D,P^-1
Passo 3
Para diagonalizar precisamos de P^-1. Aplicando Gauss– Jordan a l[Pmid Ir] obtemos
P^-1 = 1 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2
Passo 4
Agora calculamos
A ;=; P,D,P^-1
Primeiro D,P^-1 multiplica cada linha de P^-1 pelos autovalores: