Defina subespaço vetorial, base e dimensão de espaço vetorial.
Passo 1
Subespaço vetorial. Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
. Dizemos que um subconjunto
é um subespaço vetorial de
se, e somente se, satisfaz três condições:
O vetor nulo de
pertence a
.
é fechado sob soma: para todos
, temos
.
é fechado sob multiplicação escalar: para todo
e
, temos
.
Passo 2
Base de um espaço vetorial. Seja
um espaço vetorial sobre
. Um conjunto
é chamado de base de
se, e somente se:
.
gera
: qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de
.
.
é linearmente independente: nenhuma combinação linear não trivial de vetores de
dá o vetor nulo.
Em outras palavras,
é um conjunto mínimo que gera
.
Passo 3
Dimensão de um espaço vetorial. A dimensão de
, denotada
, é o número de vetores em qualquer base de
, quando esse número é finito. Se não existe base finita de
, dizemos que
é de dimensão infinita.
Resposta
Subespaço vetorial:
Um subconjunto que contém o vetor nulo, e é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Um subconjunto
Base:
Um conjunto que é linearmente independente e gera todo o espaço
.
Um conjunto
Dimensão:
O número de vetores em qualquer base de (se finito), ou infinito caso não haja base finita.
O número de vetores em qualquer base de