Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+4 t,-y+2 z+3 t,-z+2 t, t). Determine a matriz A que representa T com respeito à base canônica.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^4toR^4, T(x,y,z,t) = l(x+2y+3z+4t,,-y+2z+3t,,-z+2t,;tr)
e pede a matriz A de T na base canônica. Para isso vamos aplicar T aos vetores da base canônica
e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1) e usar esses resultados como colunas de A.

Passo 2

Calcular T( e1). Como e1=(1,0,0,0), temos
T(1,0,0,0) = l(1+2cdot0+3cdot0+4cdot0,,-0+2cdot0+3cdot0,,-0+2cdot0,;0r) = (1,0,0,0)

Passo 3

Calcular T( e2). Como e2=(0,1,0,0),
T(0,1,0,0) = l(0+2cdot1+3cdot0+4cdot0,,-1+2cdot0+3cdot0,,-0+2cdot0,;0r) = (2,-1,0,0)

Passo 4

Calcular T( e3). Como e3=(0,0,1,0),
T(0,0,1,0) = l(0+2cdot0+3cdot1+4cdot0,,-0+2cdot1+3cdot0,,-1+2cdot0,;0r) = (3,2,-1,0)

Passo 5

Calcular T( e4). Como e4=(0,0,0,1),
T(0,0,0,1) = l(0+2cdot0+3cdot0+4cdot1,,-0+2cdot0+3cdot1,,-0+2cdot1,;1r) = (4,3,2,1)

Passo 6

Montar a matriz A usando essas imagens como colunas, isto é,
A = l[,T( e1);;T( e2);;T( e3);;T( e4)r] = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1

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