Determine as transformações inversas, , das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(-2 x+y, 3 x-y)
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformação inversa, chamada de T^-1 , da transformação T que foi dada. Estamos lidando com transformações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz, já que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a transformação T em termos matriciais. A transformação está definida por:
T(x, y) = (-2x + y, 3x - y)
Isso pode ser representado por uma matriz A tal que:
A = -2 & 1 3 & -1
Então, T é basicamente multiplicar o vetor (x, y) por essa matriz A .

Passo 3

Para encontrar a transformação inversa T^-1 , precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 . A inversa de uma matriz A existe se e somente se o determinante de A for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (-2)(-1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1
Como o determinante é -1 (diferente de zero), a inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 2x2 como essa, a fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde a = -2 , b = 1 , c = 3 , e d = -1 . Substituindo esses valores:
A^-1 = 1-1 -1 & -1 -3 & -2 = 1 & 1 3 & 2

Passo 5

Agora que temos A^-1 , podemos definir a transformação inversa T^-1 . Então, para um vetor (a, b) em R^2 , a transformação inversa será:
T^-1(a, b) = A^-1 a b = 1 & 1 3 & 2 a b = (1 cdot a + 1 cdot b, 3 cdot a + 2 cdot b)
Ou seja:
T^-1(a, b) = (a + b, 3a + 2b)

Resposta

A transformação inversa é T^-1(a, b) = (a + b, 3a + 2b) .

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