Considere o subconjunto de vetores \beta=\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}.
(a) Mostre que \beta é uma base para \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i, j, k\} de \mathbb{R}^{3} para a base \beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas A^{\prime} da base \beta para a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i, j e k em relação à base \beta ?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O, i, j, k\}, quais são as coordenadas de P no sistema \{O, \beta\} ?

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto \beta=\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\} de \mathbb{R}^{3} e pede quatro coisas:
  1. (a) Mostrar que \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}.
  2. (b) Encontrar a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i,j,k\} para a base \beta, e a matriz A' da base \beta para a base canônica.
  3. (c) Encontrar as coordenadas dos vetores canônicos i, j, k em relação à base \beta.
  4. (d) Dado um ponto P cujas coordenadas no sistema canônico são (1,-2,5), achar suas coordenadas no sistema \{O,\beta\}.
Informações relevantes fornecidas:
v_{1}=(1,1,-2),\qquad v_{2}=(1,-1,0),\qquad v_{3}=(1,1,1).
Esses três vetores formam o conjunto \beta. Não há figura nem tabela adicional.

Passo 2

Para mostrar que \beta é uma base precisamos verificar duas coisas (mas, em \mathbb{R}^{3}, basta verificar uma condição equivalente): os vetores são linearmente independentes (então também geram \mathbb{R}^{3}). Uma maneira prática é formar a matriz P cujas colunas são os vetores de \beta escritos nas coordenadas canônicas e calcular o determinante. Se \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \beta é base.
Definimos
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é v_{1}, a segunda é v_{2} e a terceira é v_{3}.
Agora calculamos \det(P). Vou usar a expansão pela primeira linha (ou qualquer outro método), passo a passo:
\det(P)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot0=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-2)=1+2=3,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot(-2)=0-2=-2.
Substituindo:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot(3)+1\cdot(-2)=-1-3-2=-6.
Como \det(P)=-6\neq 0, as colunas de P são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^{3}, isso implica que \beta é uma base.]

Passo 3

Explico o significado das matrizes de mudança de base que o enunciado pede (é importante entender antes de calcular):
  • A matriz P que construí acima tem colunas formadas pelos vetores de \beta escritos nas coordenadas canônicas. Para qualquer vetor x, se [x]_{\beta} é o vetor coluna de coordenadas de x na base \beta e [x]_{\text{can}} é seu vetor coluna de coordenadas na base canônica, vale a relação
[x]_{\text{can}}=P\,[x]_{\beta}.
Ou seja, P transforma coordenadas em \beta para coordenadas canônicas: [x]_{\text{can}}=P[x]_{\beta}. Portanto, a matriz que transforma coordenadas da base \beta para a base canônica (isto é, \beta\to canônica) é A'=P.
  • A matriz que transforma coordenadas da base canônica para a base \beta (isto é, canônica \to\beta) é a inversa de P:
[x]_{\beta}=P^{-1}[x]_{\text{can}}.
Portanto, A=P^{-1}. Vou calcular P^{-1} explicitamente pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 4

Calculando P^{-1} por Gauss-Jordan. Começo com a matriz aumentada [P\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Vou fazer operações elementares para reduzir a parte esquerda à identidade. Passo a passo:
  1. Zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: R_{2}\leftarrow R_{2}/(-2):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. Zerar as outras entradas da segunda coluna: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2} e R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right).
  1. Tornar o pivô da terceira linha igual a 1: R_{3}\leftarrow R_{3}/3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
  1. Zerar a entrada acima do pivô da terceira coluna: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
A parte direita é agora P^{-1}. Assim
P^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Concluímos as matrizes de mudança de base pedidas:
  • A matriz que vai da base canônica para \beta (ou seja, que transforma coordenadas canônicas em coordenadas em \beta) é
A=P^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
  • A matriz que vai da base \beta para a base canônica é
A'=P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Expliquei antes por que A=P^{-1} e A'=P: P converte coordenadas \beta\to canônica e sua inversa converte canônica \to\beta.]

Passo 6

As coordenadas dos vetores canônicos i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) em relação à base \beta são obtidas aplicando A=P^{-1} a cada vetor canônico. Observação prática: essas coordenadas aparecem como as colunas de P^{-1}. Portanto:
[i]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\qquad [j]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\qquad [k]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora o item (d): o ponto P tem coordenadas canônicas (1,-2,5), isto é [P]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix}. As coordenadas em \beta são
[P]_{\beta}=A\,[P]_{\text{can}}=P^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Multiplicando (usando as linhas de P^{-1} calculadas):
\begin{aligned} \text{1ª coord.} &= \tfrac{1}{6}\cdot1 + \tfrac{1}{6}\cdot(-2) + \left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot5 = \tfrac{1}{6}-\tfrac{2}{6}-\tfrac{5}{3} = -\tfrac{11}{6},\\[6pt] \text{2ª coord.} &= \tfrac{1}{2}\cdot1 + \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-2) + 0\cdot5 = \tfrac{1}{2} +1 = \tfrac{3}{2},\\[6pt] \text{3ª coord.} &= \tfrac{1}{3}\cdot1 + \tfrac{1}{3}\cdot(-2) + \tfrac{1}{3}\cdot5 = \tfrac{1-2+5}{3} = \tfrac{4}{3}. \end{aligned}ªªª
Portanto as coordenadas de P na base \beta são \left(-\tfrac{11}{6},\tfrac{3}{2},\tfrac{4}{3}\right).]

Resposta

(a) \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&-1&1\\[4pt]-2&0&1\end{pmatrix}=-6\neq0.
(b) A= matriz da base canônica para \beta:
A=P^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}, \qquad A'=\text{matriz da base }\beta\text{ para a canônica }=P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.ô
(c) [i]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad [j]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},\quad [k]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
(d) [P]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{11}{6}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

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