Considere o subconjunto de vetores \beta=\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}.
(a) Mostre que \beta é uma base para \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i, j, k\} de \mathbb{R}^{3} para a base \beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas A^{\prime} da base \beta para a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i, j e k em relação à base \beta ?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O, i, j, k\}, quais são as coordenadas de P no sistema \{O, \beta\} ?
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto \beta=\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\} de \mathbb{R}^{3} e pede quatro coisas:
(a) Mostrar que \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontrar a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i,j,k\} para a base \beta, e a matriz A' da base \beta para a base canônica.
(c) Encontrar as coordenadas dos vetores canônicos i, j, k em relação à base \beta.
(d) Dado um ponto P cujas coordenadas no sistema canônico são (1,-2,5), achar suas coordenadas no sistema \{O,\beta\}.
Esses três vetores formam o conjunto \beta. Não há figura nem tabela adicional.
Passo 2
Para mostrar que \beta é uma base precisamos verificar duas coisas (mas, em \mathbb{R}^{3}, basta verificar uma condição equivalente): os vetores são linearmente independentes (então também geram \mathbb{R}^{3}). Uma maneira prática é formar a matriz P cujas colunas são os vetores de \beta escritos nas coordenadas canônicas e calcular o determinante. Se \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \beta é base.
Como \det(P)=-6\neq 0, as colunas de P são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^{3}, isso implica que \beta é uma base.]
Passo 3
Explico o significado das matrizes de mudança de base que o enunciado pede (é importante entender antes de calcular):
A matriz P que construí acima tem colunas formadas pelos vetores de \beta escritos nas coordenadas canônicas. Para qualquer vetor x, se [x]_{\beta} é o vetor coluna de coordenadas de x na base \beta e [x]_{\text{can}} é seu vetor coluna de coordenadas na base canônica, vale a relação
[x]_{\text{can}}=P\,[x]_{\beta}.
Ou seja, P transforma coordenadas em \beta para coordenadas canônicas: [x]_{\text{can}}=P[x]_{\beta}. Portanto, a matriz que transforma coordenadas da base \beta para a base canônica (isto é, \beta\to canônica) é A'=P.
A matriz que transforma coordenadas da base canônica para a base \beta (isto é, canônica \to\beta) é a inversa de P:
[x]_{\beta}=P^{-1}[x]_{\text{can}}.
Portanto, A=P^{-1}. Vou calcular P^{-1} explicitamente pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
Passo 4
Calculando P^{-1} por Gauss-Jordan. Começo com a matriz aumentada [P\mid I]:
Expliquei antes por que A=P^{-1} e A'=P: P converte coordenadas \beta\to canônica e sua inversa converte canônica \to\beta.]
Passo 6
As coordenadas dos vetores canônicos i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) em relação à base \beta são obtidas aplicando A=P^{-1} a cada vetor canônico. Observação prática: essas coordenadas aparecem como as colunas de P^{-1}. Portanto:
Agora o item (d): o ponto P tem coordenadas canônicas (1,-2,5), isto é [P]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix}. As coordenadas em \beta são
Portanto as coordenadas de P na base \beta são \left(-\tfrac{11}{6},\tfrac{3}{2},\tfrac{4}{3}\right).]
Resposta
(a) \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&-1&1\\[4pt]-2&0&1\end{pmatrix}=-6\neq0.
(b) A= matriz da base canônica para \beta: