Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
Mostre que beta é uma base para R^3.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto de vetores beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) em R^3 e pede para mostrar que beta é uma base. Em teoria de espaços vetoriais, uma forma eficiente é usar o fato de que R^3 tem dimensão 3, de modo que todo conjunto de 3 vetores é base se, e somente se, for linearmente independente.

Passo 2

Vamos testar a independência linear de beta. Por definição, beta é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Ou seja, suponha escalares alpha1,alpha2,alpha3 tais que
alpha1(1,1,0)+alpha2(0,1,1)+alpha3(1,0,1)=(0,0,0)
Escrevendo componente a componente, a combinação acima gera o sistema
alpha1 + alpha3 = 0, alpha1 + alpha2 = 0, alpha2 + alpha3 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação segue alpha3=-alpha1.
Da segunda segue alpha2=-alpha1.
Substituindo esses valores na terceira equação:
(-alpha1)+(-alpha1)=0Longrightarrow -2alpha1=0Longrightarrow alpha1=0
Logo alpha2=-alpha1=0 e alpha3=-alpha1=0. Portanto, a única solução é alpha1=alpha2=alpha3=0, o que mostra que beta é linearmente independente.

Passo 4

Como beta tem exatamente 3 vetores e dim(R^3)=3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes em R^3 forma uma base. Logo, beta gera todo R^3 e é uma base.

Resposta

beta é uma base de R^3.

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