Considere o subconjunto de vetores .
Mostre que é uma base para .
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto de vetores em e pede para mostrar que é uma base. Em teoria de espaços vetoriais, uma forma eficiente é usar o fato de que tem dimensão 3, de modo que todo conjunto de 3 vetores é base se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 2
Vamos testar a independência linear de . Por definição, é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Ou seja, suponha escalares tais que
Escrevendo componente a componente, a combinação acima gera o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação segue alpha3=-alpha1.
Da segunda segue alpha2=-alpha1.
Substituindo esses valores na terceira equação:
Logo alpha2=-alpha1=0 e alpha3=-alpha1=0. Portanto, a única solução é alpha1=alpha2=alpha3=0, o que mostra que beta é linearmente independente.
Passo 4
Como beta tem exatamente 3 vetores e dim(R^3)=3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes em R^3 forma uma base. Logo, beta gera todo R^3 e é uma base.