Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1).
Mostre que beta é uma base para R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto de vetores
beta = (1,1,-2),,(1,-1,0),,(1,1,1) em R^3 e pede para mostrar que beta é uma base de R^3.
Em Álgebra Linear, basta provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI), pois em R^3 qualquer conjunto de três vetores LI gera todo o espaço, logo é base. Uma forma prática de checar LI é montar a matriz cujas colunas são os vetores e verificar que seu determinante é não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz M colocando os vetores de beta como colunas:
M = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 -2 & 0 & 1
Se det(M)neq0, então as colunas de M são LI e, portanto, beta é base.

Passo 3

Calculamos det(M) usando expansão por Laplace ou a regra de Sarrus. Por exemplo,
det(M) =1cdot-1 & 10 & 1 -1cdot1 & 1-2 & 1 +1cdot1 & -1-2 & 0
Agora cada menor:
-1 & 10 & 1 =-1cdot1 - 1cdot0 = -1,
1 & 1-2 & 1 =1cdot1 - 1cdot(-2) = 1+2 = 3,
1 & -1-2 & 0 =1cdot0 - (-1)cdot(-2) = 0 - 2 = -2
Portanto
det(M) = 1cdot(-1) - 1cdot3 + 1cdot(-2) = -1 -3 -2 = -6 neq 0

Passo 4

Como det(M)=-6neq0, a matriz M é invertível, logo suas colunas são linearmente independentes e geram R^3.

Resposta

O conjunto beta é base de R^3.

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