Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1).
Quais são as coordenadas do vetor v=(1,-2,5) em relação à base beta?

Passo 1

O enunciado nos dá a base
beta = ,v1=(1,1,-2),;v2=(1,-1,0),;v3=(1,1,1)
e o vetor v=(1,-2,5). Queremos encontrar coordenadas (a,b,c) tais que
a,v1 ;+; b,v2 ;+; c,v3 ;=; v
Isso envolve montar um sistema linear e resolver para a,b,c.

Passo 2

Escrevendo a combinação
a(1,1,-2) + b(1,-1,0) + c(1,1,1) = (1,-2,5)
e igualando componente a componente, obtemos o sistema
a + b + c = 1, a - b + c = -2, -2a ;+; 0cdot b ;+; c = 5

Passo 3

Da terceira equação segue
c = 5 + 2a
Substituindo em a+b+c=1
a + b + (5+2a) = 1 Longrightarrow 3a + b = -4 Longrightarrow b = -4 - 3a
Também em a - b + c = -2 fica
a -(-4-3a) + (5+2a) = -2 Longrightarrow 6a + 9 = -2 Longrightarrow a = -tfrac116

Passo 4

Com a=-tfrac116 temos
b = -4 - 3l(-tfrac116r) = -4 + tfrac336 = tfrac32, c = 5 + 2l(-tfrac116r) = 5 - tfrac113 = tfrac43
Logo as coordenadas de v na base beta são
l(a,b,cr) = l(-tfrac116,,tfrac32,,tfrac43r)

Resposta

l[-tfrac116,,tfrac32,,tfrac43r]beta

Exercícios relacionados