Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
Quais são as coordenadas do vetor v=(1,-2,5) em relação à base beta?

Passo 1

O enunciado dá um conjunto beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) em R^3 e pede as coordenadas do vetor v=(1,-2,5) nessa base. Para isso precisamos encontrar escalares c1,c2,c3 tais que uma combinação linear dos vetores de beta resulte em v.

Passo 2

Escrevemos a condição de combinação linear:
c1(1,1,0) + c2(0,1,1) + c3(1,0,1) = (1,-2,5)
Isso gera um sistema de três equações em c1,c2,c3.

Passo 3

Igualando as componentes, obtemos
c1 + c3 = 1, c1 + c2 = -2, c2 + c3 = 5
Agora resolvemos esse sistema.

Passo 4

Da primeira equação segue c1 = 1 - c3. Substituindo na segunda:
(1 - c3) + c2 = -2 Longrightarrow c2 = c3 - 3
Substituindo c2 e c3 na terceira:
(c3 - 3) + c3 = 5 Longrightarrow 2c3 = 8 Longrightarrow c3 = 4
Então
c2 = 4 - 3 = 1, c1 = 1 - 4 = -3

Passo 5

Portanto os escalares que expressam v na base beta são
(c1,c2,c3)=(-3,1,4)

Resposta

As coordenadas de v em relação à base beta são (-3,1,4).

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